半夜醒来刷了个视频，说是欧拉证明了自然数之和是个负数：  1+2+3+4+5+6+...+∞=-1/12 搜索了一下，貌似很多人都说是这个结果。不过我咋看咋有问题，因为这太违反常识了！  我们做个假设，你是一个超超超超超超宇宙级的园丁，收获时节到了，你数着自己遍布超超超超超超宇宙的苹果，1个,2个,3个,4个,5个,6个，...，∞个，你很开心！但是下一眼，你的苹果消失了！什么也没有了！真是怪事！  你可能会说，数学是形而上的学科，怎么能用苹果来说呢？毕竟超超超超超超宇宙的苹果，也不能无穷多个吧？  好吧，我承认，我只是用苹果做了个比喻。  我们先来看看网络上的证明过程： （1）S1=1+2+3+4+5+6+...  （2）S2=1-2+3-4+5-6+...  （3）因为S1-S2=1-1+2+2+3-3+4+4+5-5+6+6...  （4）=0+4+0+8+0+12....  （5）=4+8+12... （6）=4（1+2+3+...）（提取4倍数）  （7）带入S1=1+2+3+4+5+6+...  （8）所以S1-S2=4S1，S1=-S2/3  （9）因为S2+S2=（1-2+3-4+5-6+...）+（1-2+3-4+5-6+...）  （10）2S2=1-2+3-4+5-6+...  （11） +1-2+3-4+5-6+...（错位相加）  （12）=1-1+1-1+1-1+1...  （13）再将2S2+2S2=（1-1+1-1+1-1+1...）+（1-1+1-1+1-1+1...）  （14）=1-1+1-1+1-1+1...  （15） +1-1+1-1+1-1+1...（错位相加）  （16）=1 （17）所以4S2=1，S2=1/4  （18）带入S1-S2=4S1，最终得到S1=-1/12  （19）所以，1+2+3+4+5+6+...=-1/12  附加证明过程：  证明1 证明2  我承认，第一次看到这个证明的时候，感觉似乎没有问题，但是又提笔算了一阵子，感觉问题挺大的。我起码有一个疑惑：如果自然数都是正整数，它如何变成了负数？  难道阳盛必衰？物极必反？  数学虽然不是自然科学，但也不至于这么玄乎吧？  想了半天，我还是觉得不妥——  既然S1是自然数之和，那么这些数必然是奇数或偶数，或者说它是变动的，因为它加到了无穷大，它可以随时变化，它可以既是奇数也是偶数，它是薛定谔的猫。  我们用n来表示它。  当n是奇数的时候：  S1=1+2+3+4+5+6+...+n+(n+1)  S2=1-2+3-4+5-6+...+n-（n+1）  S1-S2=[1+2+3+4+5+6+...+n+(n+1)]-  [ 1-2+3-4+5-6+...+n-（n+1）]  =(1-1)+(2+2)+(3-3)+(4+4)+(5-5)+(6+6)+...+(n-n)+2(n+1)  =0+4+0+8+0+12+...+0+2(n+1) =4[1+2+3+...+（n+1）/2]（提取4倍数） 我们发现：1+2+3+4+5+6+...+n+(n+1)和[1+2+3+...+（n+1）/2根本不是一个东西，它们不能互相替换，因此S1-S2并不等于4S2！也就是说，上面的步骤（7）是有问题的！  同理，当n是偶数的时候：  S1=1+2+3+4+5+6+...+（n-1）+n  S2=1-2+3-4+5-6+...+（n-1）-n  S1-S2=[1+2+3+4+5+6+...+（n-1）+n]-  [1-2+3-4+5-6+...+（n-1）-n] =(1-1)+(2+2)+(3-3)+(4+4)+(5-5)+(6+6)+...+[(n-1)-(n-1)]+(n+n) =0+4+0+8+0+12+...+0+2n  =4(1+2+3+4+...+n/2)  这个1+2+3+4+5+6+...+（n-1）+n也不等于(1+2+3+4+...+n/2)！ 所以，我们得不出S1-S2=4S1。  另外，S2也不会等于1/4： 用数列的方式来说：S1相当于n+1或n个数的数列，而S1-S2提取4倍数后的项相当于（n+1）/2或n/2个数的数列，它们在数的多少上就不一样，又如何能互相替代？  如果非要错位相加，那么它也不一定是1/4，因为两个一模一样的2S2，它的自然数项一定是相同的，错位相加消除后面的所有项只会遗漏第二个2S2的最后一项，就像你只记得第一个2S2的第一项一样。  通过（12），我们已经知道2S2=1-1+1-1+1-1+1... 它自己就可以求出结果：或者2S2=2，或者2S2=0。  下面的表格可以表明：  +1  1 -1  +1 -1  +1 1  -1  +1  -1  +1  -1  1 -1  +1 -1  -1 1  -1  +1  -1  -1  你会说，人家是无穷大，后面多个项少个项并不影响最终的大小，甚至还能彼此互相取消。从某种意义上说，的确如此。不过我们需要明白的是，如果n是一个正整数，那么n+1永远比n大！尽管它们都可以是无穷大！  这就好像，两道光从恒星出发，朝着同一个方向赛跑，同样是光速，但是第一道光先比第二道光出发一秒钟，也它们会跑一万年一亿年甚至更久，但只要不出意外，只要它们一直在跑，第一道永远比第二道跑得远。 就这样吧！  最后：以上都是止步于高中数学的浅见，也许在更高纬度的数学领域，自然数之和可以是负数——这就不是我能理解得了的了——如果你能忽悠我，欢迎评论。